搜索泛函變分小結：理解變分法的基本思想及其發展【轉發】
2017-02-27 by:CAE仿真在線 來源:互聯網
感覺泛函變分是個很神奇的東西,居然能求出一個函數,想好好學一學,發現書上講的不透徹,證明不詳細,用于求解泛函變分時查公式還行,但要了解變分法的思想,簡直不可能。個人感覺推導出歐拉方程,不管變分也還可以理解,但一到變動邊界的時候就費解了,原因還是前面變分的物理意義沒弄懂,這種情況下只能充當跟屁蟲。
不知道現在的很多老師是不懂還是故意藏著掖著,精髓不給人講,讓人摸不著頭腦,可悲可嘆!這個時代,人們盲目的迷信西方科學,要知道歐拉、拉格朗日再牛,那也只是用自己的智慧闡釋了自然的規律,他們的起航工作固然可敬,但如果他說啥就聽啥,那就是舍本逐末了,用符合自己思維方式的方法,配合前人的工作,理解自然規律才是正道,盲目的在人家的思維圈子里轉啊轉,悲乎!個人愚見!
看到網上有個老師講變分,短短數講,通俗易懂,沒有大段的公式定理迷惑人,這才是育人的態度。不過變分還是一個比較深的理論,他講的一共一個多小時,不足以覆蓋全部泛函變分的知識,但對于理解變分的發展、思想還是一個很好的教程。
以下是視頻主要內容的總結:
泛函如下:
設
其中:y(x)為解函數,ε為控制因子
則解滿足:
最終得歐拉方程如下:
或
函數的變分即在函數上加一個擾動,注意自變量上沒有擾動,如下:
其中,δy為y的變分。
自變量的變分為0,即
某些量被拿來做另一些量的依據,則這些量的變分為0。
變分與微分的可變換性:
所以變分與微分具有可交換性。
變分與積分地可交換性:
所以變分與積分具有可交換性。
函數的變分計算如下:
此公式類似于全微分的表達式,但全微分中的dx、dy、dz是實實在在的移動,而δx、δy、δz是人為加上去的擾動。兩者的區別在于變分是一種數學實驗,但又由于變分也是微擾,故可用且需要用微分的公式計算。微擾的含義如下理解:
其中ε很微小,α、β、γ任意變化,微小體現了微,任意變化體現了擾。
故(δx, δy, δz)是三維空間中任意變化的向量,任意角度、任意長度(微小)。
即梯度為0。
注意:之前提到自變量的變分為0,而這里又拿自變量的變分表示函數的變分,是不是矛盾呢?我覺得這可以用“某些量被拿來做另一些量的依據,則這些量的變分為0”來解釋,在求泛函時,考慮的是函數的擾動對泛函值的影響,自變量為函數的依據,其便分為0,而在具體計算函數的變分時,則需要考慮自變量的變動。(個人理解,講座中這一點沒講到)
函數上加微擾,泛函上有多大的差別,故定義如下:
上面的泰勒展開,由于后面是微量ε的高次項,故略去。
除式泛函變分:
微分的變分:
設
兩函數的變化由同一個ε控制。
則
解得:
即為多應變量的歐拉公式,可以推廣到更一般,如下:
如在輔助條件
求泛函的極值
最后得拉格朗日方程:
解得
即為奧氏方程。
本文來自新浪了凡春秋的博客,博主2006年入讀中國科技大學。
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