網格大小對計算精度的影響及應力集中時結果的可信性

2017-02-06  by:CAE仿真在線  來源:互聯網

有限元分析一定可以得到問題的精確解嗎?

理論上可以證明,如果插值函數使用了“協調和完整的位移函數”,則當網格尺寸逐漸減小而單元數量增加時,解就會單調收斂。

而且,當單元數目增加時,得到的剛度會降低,并收斂于真實剛度;這就意味著,當單元增加時,得到的位移增加,而收斂于精確位移解。其圖形如下:

這里所說的“協調和完整位移函數”,是指:

1.近似函數式一般是多項式。

2.近似函數在單元內要保持連續。

3.近似函數應提供單元間的連續性,包括離散單元每一個節點所有自由度都應該是連續的,二維單元和三維單元沿著公共邊界線和公共面必須是連續的。

既能夠保證單元內的連續,又能夠保證單元間的連續的形函數稱為協調函數。

4.近似函數應考慮剛體位移和單元內的常應變狀態。即有常數項保證剛體運動(無應變的運動),而有一次項保證有常應變狀態發生。這是形函數的完整性問題。

例如,對于一維單元而言,若取形函數

則同時滿足上面四個條件,稱為協調且完整的位移函數。

一般來說,我們所用的單元使用的位移函數都滿足上述四個條件,所以從理論上來說,只要網格加密,就可以收斂于真實解。

為了驗證上述理論的真實性,我們選用了一個材料力學中的例子來做仿真。

該例子如下

使用材料力學的理論進行求解,簡要過程如下

使用ANSYS進行分析,使用BEAM188單元,首先創建如圖所示的幾何模型

然后分別對各段直線加密網格劃分,得到的結果如下

上表中,第一列是劃分的單元數,第二列是最大的壓應力,第三列是最大的拉應力。可以看到,隨著單元數目的增加,最大拉伸,壓縮應力的絕對值都在增加。

從材料力學得到的精確解,最大的壓應力是-46.2MPa, 最大的拉應力是28.8MPa。這樣,當單元數增加到64個時,壓應力的誤差是(46.2-45.7)/46.2 =1.1%; 拉應力的精度是(28.8-28.6)/28.8=0.7%.此時精度已經相當高了。

可以明顯的看出,隨著單元數目的增加,應力解的確是在逐漸逼近真實解。從這個方面來說,加密網格的確是提高計算精度的有效方法。

這也意味著,我們在有限元仿真中,如果要得到精確的結果,必須不斷細分網格,直到結果收斂。否則,我們的得到結果就是不可信的。

那么,對于任意的幾何模型,網格細分就一定能夠得到真實解嗎?這是每一個CAE分析工程師都關注的問題。

如果結構中沒有應力集中,答案是肯定的。

如果結構中存在應力集中,則結果未必會收斂。

為了說明這一點,我們選取了一個平面應力問題。它是一個角支座,其圖形及尺寸如下。在角支座上鉆了兩個孔,現在我們固定左上邊的孔,而在右下方孔的第四象限半圓上施加壓力。并通過不斷的加密網格來考慮計算結果的可信性。

生成的有限元模型如下

固定左上邊的孔,并對右下方孔施加右下方向的壓力,當單元尺寸取5mm時候,應力云圖如下

可見,此時最大應力發生在拐角處,是34.383MPa

單元尺寸全局細分到3mm,結果是

最大應力是44.44MPa

單元尺寸全局細分到1mm,結果是

最大應力是74.004MPa

單元尺寸全局細分到0.4mm,結果是

最大應力是112.873MPa

可見,結果并沒有收斂的趨勢。

如果我們進一步細分網格,會發現數據無限增大,不會收斂。

實際上,理論證明,在該拐角處如果是直角,而沒有倒圓角的話,應力集中系數會趨向無窮大,所以在實踐設計中絕對禁止出現這種直角。

這也意味著,如果我們在有限元分析前進行模型簡化時,絕不可輕易將一些倒角隨便刪除,否則會出現奇怪的結果。

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